Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ của hàm số.

- Sử dụng định nghĩa các đường tiệm cận: Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\).

+ Đường thẳng \(y = {y_0}\) là TCN của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}\).

+ Đường thẳng \(x = {x_0}\) là TCĐ của đồ thị hàm số nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  + \infty \), \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  - \infty \) , \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  + \infty \)  hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  - \infty \).

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(\left\{ \begin{array}{l}2 - {x^2} \ge 0\\{x^2} + x - 2 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\backslash \left\{ 1 \right\}\).

Do đó hàm số không có tiệm cận ngang (do không thể tồn tại giới hạn khi x tiến ra vô cực).

Ta xét \(\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{x\sqrt {2 - {x^2}} }}{{{x^2} + x - 2}} =  + \infty \\\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \dfrac{{x\sqrt {2 - {x^2}} }}{{{x^2} + x - 2}} =  - \infty \end{array} \right.\).

(Ta không xét giới hạn của hàm số khi \(x \to {2^ + }\) và \(x \to {2^ - }\) do \(x = 2\) không thuộc TXĐ của hàm số).

Do đó \(x = 1\) là TCĐ của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng.

Chọn A.