Câu hỏi:
Cho hình chóp \(S.ABC\) có đáy \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, đường thẳng \(SC\) tạo với đáy một góc bằng \({60^0}\). Thể tích của khối chóp \(S.ABC\) bằng:
Phương pháp giải:
- Sử dụng công thức tính nhanh diện tích tam giác đều cạnh \(a\) là \(S = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
- Xác định góc giữa \(SC\) và mặt đáy là góc giữa \(SC\) và hình chiếu của \(SC\) lên mặt phẳng đáy.
- Sử dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông tính chiều cao \(SA\).
- Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{\Delta ABC}}\).
Lời giải chi tiết:
Tam giác \(ABC\) là tam giác đều cạnh \(a\)\( \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
Vì \(SA\) vuông góc với đáy, đường thẳng \(SC\) tạo với đáy một góc bằng \({60^0}\)\( \Rightarrow \widehat {SCA} = {60^0}\)
Xét tam giác vuông \(SAC\) (\(SA \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow SA \bot AC\)) ta có: \(SA = AC.\tan {60^0} = a\sqrt 3 .\)
Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.SA.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.a\sqrt 3 .\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}}}{4}.\)
Chọn C.