Phương pháp giải:

- Xác định chiều cao của khối chóp: Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, một đường nằm trong mặt này và vuông góc với giao tuyến thì vuông góc với mặt phẳng kia.

- Xác định góc giữa hai mặt phẳng: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và cùng vuông góc với giao tuyến.

- Tính chiều cao $SI$ dựa vào tỉ số lượng giác của góc nhọn trong tam giác vuông.

- Áp dụng công thức tính thể tích khối chóp có chiều cao $h$, diện tích đáy $B$ là $V = \dfrac{1}{3}Bh$.

Lời giải chi tiết:

Trong $\left( {SAB} \right)$ kẻ $SI \bot AB\,\,\,\left( {I \in AB} \right)$ ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SI \bot AB\end{array} \right.$ $\Rightarrow SI \bot \left( {ABCD} \right)$.

$\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\,\left( {gt} \right)\\BC \bot SI\,\,\,\left( {SI \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)$$\Rightarrow BC \bot SB$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BC\\\left( {SBC} \right) \supset SB \bot BC\\\left( {ABCD} \right) \supset AB \bot BC\end{array} \right.$$\Rightarrow \angle \left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SB;AB} \right) = \angle SBA = {30^0}$.

Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được  $\angle \left( {\left( {SAD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SA;AB} \right) = \angle SAB = {30^0}$

Do đó tam giác $SAB$ cân tại $S$ nên $I$ là trung điểm của $AB$.

Tam giác $SIA$ vuông tại $I$ có $\angle SAB = {30^0},\,\,AI = a$$\Rightarrow SI = a\tan {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.$

${S_{ABCD}} = AB.BC = 2a.4a = 8{a^2}$.

Vậy ${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}.SI.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.8{a^2} = \dfrac{{8\sqrt 3 }}{9}{a^3}.$

Chọn B.