Phương pháp giải:

Từ $\sin \alpha  + \cos \alpha  = \frac{3}{4}$ và ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$, tìm $\cos \alpha ,\sin \alpha .$

Lời giải chi tiết:

$\sin \alpha  + \cos \alpha  = \frac{3}{4} \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{3}{4} - \sin \alpha .$

Lại có: ${\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1$

$\Rightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\left( {\frac{3}{4} - \sin \alpha } \right)^2} = 1 \Rightarrow 2{\sin ^2}\alpha  - \frac{3}{2}\sin \alpha  - \frac{7}{{16}} = 0$

$\Rightarrow \sin \alpha  = \frac{{3 + \sqrt {23} }}{8}$ (vì với $\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi$ thì $\sin \alpha  > 0)$.

$\Rightarrow \cos \alpha  = \frac{3}{4} - \sin \alpha  = \frac{3}{4} - \frac{{3 + \sqrt {23} }}{8} = \frac{{3 - \sqrt {23} }}{8}$ $\Rightarrow \cos \alpha  - \sin \alpha  =  - \frac{{\sqrt {23} }}{4}.$

Chọn D.