Phương pháp giải:

Từ \(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \frac{3}{4}\) và \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\), tìm \(\cos \alpha ,\sin \alpha .\)

Lời giải chi tiết:

\(\sin \alpha  + \cos \alpha  = \frac{3}{4} \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{3}{4} - \sin \alpha .\)

Lại có: \({\sin ^2}\alpha  + {\cos ^2}\alpha  = 1\)

\( \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  + {\left( {\frac{3}{4} - \sin \alpha } \right)^2} = 1 \Rightarrow 2{\sin ^2}\alpha  - \frac{3}{2}\sin \alpha  - \frac{7}{{16}} = 0\)

\( \Rightarrow \sin \alpha  = \frac{{3 + \sqrt {23} }}{8}\) (vì với \(\frac{\pi }{2} < \alpha  < \pi \) thì \(\sin \alpha  > 0)\).

\( \Rightarrow \cos \alpha  = \frac{3}{4} - \sin \alpha  = \frac{3}{4} - \frac{{3 + \sqrt {23} }}{8} = \frac{{3 - \sqrt {23} }}{8}\) \( \Rightarrow \cos \alpha  - \sin \alpha  =  - \frac{{\sqrt {23} }}{4}.\)

Chọn D.