Phương pháp giải:

- Sử dụng công thức \(h = \dfrac{{3V}}{S}\) tính chiều cao của khối lăng trụ (\(V,\,\,S\) lần lượt là thể tích và diện tích đáy của lăng trụ).

- Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông, tính \(A'B,\,\,A'C\), chứng minh \(\Delta A'BC\) cân tại \(A'\).

- Sử dụng công thức tính diện tích tam giác: \({S_\Delta } = \dfrac{1}{2}a.{h_a}\) trong đó \(a\) là một cạnh của tam giác, \({h_a}\) là độ dài đường cao ứng với cạnh \(a\).

Lời giải chi tiết:

Vì tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a\) nên \({S_{ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).

Lại có:\({V_{ABC.A'B'C'}} = {S_{ABC}}.AA'\)\( \Rightarrow \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}.AA' \Rightarrow AA' = \dfrac{a}{2}\)

Áp dụng định lí Pytago trong các tam giác vuông ta có:

\(A'B = A'C = \sqrt {{a^2} + {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}\)

\( \Rightarrow \Delta A'BC\) cân tại \(A'\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(BC\), khi đó ta có \(A'I \bot BC\).

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông \(A'BI\) có :

\(A'I = \sqrt {A'{B^2} - B{I^2}}  = \sqrt {{{\left( {\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}} \right)}^2} - {{\left( {\dfrac{a}{2}} \right)}^2}}  = a.\)

Vậy \({S_{A'BC}} = \dfrac{1}{2}.A'I.BC = \dfrac{1}{2}.a.a = \dfrac{{{a^2}}}{2}.\)

Chọn C.