Phương pháp giải:

Công thức tính thể tích khối chóp có diện tích đáy \(S\) và chiều cao \(h\) là: \(V = \dfrac{1}{3}Sh.\)

Lời giải chi tiết:

Giả sử chóp tứ giác đều là chóp \(SABCD.\)

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD,\,\,M\) là trung điểm của \(CD.\)

\( \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right).\)

Khi đó ta có: \(\angle \left( {\left( {SCD} \right),\,\,\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SM,\,\,OM} \right) = \angle SMO = {45^0}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow SO = OM.\tan {45^0} = \dfrac{a}{2}.\\ \Rightarrow {V_{SABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{a}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}}}{6}.\end{array}\)

Chọn  C.