Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{ax + b}}{{cx + d}}\,\,\left( {ad \ne bc} \right)\) có TCN \(y = \dfrac{a}{c}\) và TCĐ \(x =  - \dfrac{d}{c}\).

Lời giải chi tiết:

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{mx + 1}}{{x - 2m}}\) có TCN \(y = m\) và TCĐ \(x = 2m\).

Do đó giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số là \(I\left( {2m;m} \right)\).

Thay tọa độ điểm \(I\) vào phương trình đường thẳng \(x - 2y = 0\) ta có: \(2m - 2m = 0\) (luôn đúng).

Vậy điểm \(I\) thuộc đường thẳng \(x - 2y = 0\).

Chọn C.