Phương pháp giải:

Góc giữa đường thẳng $AD$ và mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là góc giữa đường thẳng $AD$ và hình chiếu của nó trên $\left( {ABC} \right).$

Lời giải chi tiết:

Gọi $O$ là trọng tâm $\Delta BCD \Rightarrow AO \bot \left( {BCD} \right).$

Gọi $M$ là trung điểm của $BC.$

Kẻ $DH \bot AM.$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BC \bot DM\\BC \bot AO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {ADM} \right) \Rightarrow BC \bot DH.$

$\Rightarrow DH \bot \left( {ABC} \right).$

$\Rightarrow AH$ là hình chiếu vuông góc của $AD$ trên $\left( {ABC} \right).$

$\Rightarrow \alpha  = \angle \left( {AD,\,\,\left( {ABC} \right)} \right) = \angle MAD.$

Ta có: $MD = AM = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}.$

Áp dụng định lý hàm số $\cos$ trong $\Delta AMD$ ta có:

$\cos \alpha  = \frac{{A{M^2} + A{D^2} - M{D^2}}}{{2AM.AD}}$ $= \frac{{A{D^2}}}{{2AM.AD}} = \frac{{AD}}{{2AM}}$$= \frac{a}{{2.\frac{{a\sqrt 3 }}{2}}} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = 1 - {\cos ^2}\alpha  = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}\\ \Rightarrow \sin \alpha  = \frac{{\sqrt 6 }}{3}.\end{array}$

Chọn  B.