Phương pháp giải:

\(A'A = A'B = A'C\) thì hình chiếu vuông góc của \(A'\) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\)

Tìm góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy.

Tính độ dài đường cao của lăng trụ.

Tìm thể tích lăng trụ khi biết chiều cao và diện tích đáy.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\), \(M\)là trung điểm \(BC\). Do tam giác \(ABC\) đều nên \(G\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Do \(A'A = A'B = A'C\) nên chân đường cao hạ từ \(A'\) xuống mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp  tam giác \(ABC\)

Hay \(A'G \bot \left( {ABC} \right)\) nên góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy là góc giữa \(A'A\) và \(AG\) hay \(\widehat {A'AG} = 60^\circ \)

Tam giác \(ABC\) là tam giác đều nên \(AM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}AB = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}a \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AM = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a\)

Tam giác \(A'GA\) vuông tại \(G\) nên \(A'G = AG.\tan A'AG = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}a.\tan 60^\circ  = a\)

Thể tích của khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) là  \(V = A'G.{S_{ABC}} = a.\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{a^2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{a^3}\)

Chọn B.