Phương pháp giải:

Khối chóp đều có đáy là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau, chân đường cao hạ từ đỉnh xuống mặt đáy trùng với tâm của đáy.

Tính chiều cao \(h\) của hình chóp đã cho

Thể tích của hình chóp đã cho bằng \(V = \dfrac{1}{3}h.{S_{ABCD}}\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\).

\(S.ABCD\) là hình chóp đều nên \(O\) là tâm của hình vuông \(ABCD\) đồng thời \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)

\(ABCD\) là hình vuông nên \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} + {{\left( {2a} \right)}^2}}  = 2\sqrt 2 a\). Suy ra \(AO = \dfrac{1}{2}AC = \sqrt 2 a\)

Cạnh bên của hình chóp bằng \(3a\) nên \(SA = 3a\)

\(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot AO\). Do đó \(SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}}  = \sqrt {{{\left( {3a} \right)}^2} - {{\left( {\sqrt 2 a} \right)}^2}}  = \sqrt 7 a\)

Thể tích của khối chóp \(S.ABCD\) là  \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.A{B^2} = \dfrac{1}{3}.\sqrt 7 a.{\left( {2a} \right)^2} = \dfrac{{4\sqrt 7 {a^3}}}{3}\)

Chọn A.