Phương pháp giải:

Xác định hệ số của phương trình $y = a{x^4} + b{x^2} + c$ qua các điểm cực đại, cực tiểu, điểm cắt với trục hoành, trục tung, các điểm đặc biệt trên đồ thị.

Lời giải chi tiết:

Hàm số có đồ thị như hình vẽ có dạng $y = a{x^4} + b{x^2} + c$.

Hàm số đã cho cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng $- 2$ nên $c =  - 2$.

Hàm số đã cho đi qua $A\left( { - 1;2} \right);B\left( {1;2} \right)$ nên ta có: $a + b + c = 2 \Leftrightarrow a + b = 4$.

Từ đáp án của bài toán ta thấy hàm số có đồ thị như hình đã cho thỏa mãn các điều kiện trên là $y = {x^3} + 3{x^2} - 2$ .

Chọn A.