Câu hỏi:
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(AD = 3AB = 3a\), \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), \(SA = a\). Gọi \(M\) là trung điểm \(BC,\,\,DM\) cắt \(AC\) tại \(I\)(minh họa như hình vẽ bên). Thể tích của khối chóp \(S.ABMI\) bằng:
- A \(\dfrac{{21{{\rm{a}}^3}}}{{16}}\)
- B \(\dfrac{{7{{\rm{a}}^3}}}{{18}}\)
- C \(\dfrac{{7{{\rm{a}}^3}}}{{16}}\)
- D \(\dfrac{{5{{\rm{a}}^3}}}{{12}}\)
Phương pháp giải:
- Tính \({S_{ABMI}} = {S_{\Delta ABC}} - {S_{\Delta MIC}}\).
- Sử dụng công thức tính thể tích khối chóp \({V_{S.ABMI}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABMI}}\).
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}.AB.BC = \dfrac{1}{2}.a.3a = \dfrac{{3{a^2}}}{2}\).
Áp dụng định lí Ta-lét ta có: \(\dfrac{{DI}}{{IM}} = \dfrac{{AD}}{{MC}} = 2 \Rightarrow \dfrac{{IM}}{{DM}} = \dfrac{1}{3}\).
Ta có: \(\dfrac{{{S_{\Delta IMC}}}}{{{S_{\Delta DMC}}}} = \dfrac{{\dfrac{1}{2}d\left( {I;MC} \right).MC}}{{\dfrac{1}{2}d\left( {D;MC} \right).MC}} = \dfrac{{d\left( {I;MC} \right)}}{{d\left( {D;MC} \right)}} = \dfrac{{IM}}{{DM}} = \dfrac{1}{3}\).
\( \Rightarrow {S_{\Delta IMC}} = \dfrac{1}{3}{S_{\Delta DMC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{1}{2}.CD.MC = \dfrac{1}{6}.a.\dfrac{{3a}}{2} = \dfrac{{{a^2}}}{4}\).
\( \Rightarrow {S_{ABMI}} = {S_{\Delta ABC}} - {S_{\Delta IMC}} = \dfrac{{3{a^2}}}{2} - \dfrac{{{a^2}}}{4} = \dfrac{{5{a^2}}}{4}\).
Vậy \({V_{S.ABMI}} = \dfrac{1}{3}SA.{S_{ABMI}} = \dfrac{1}{3}.a.\dfrac{{5{a^2}}}{4} = \dfrac{{5{a^3}}}{{12}}\).
Chọn D.
Câu hỏi trước
