Phương pháp giải:

+ Đặt \(SA = b\), từ giả thiết: diện tích xung quanh gấp đôi diện tích đáy, tính \(b\) theo \(a\).

+ Áp dụng công thức tính thể tích \(V = \frac{1}{3}{S_{day}}.h\).

Lời giải chi tiết:

Gọi khối chóp đều là \(S.ABCD\).

Gọi \(O = AC \cap BD \Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB\) và đặt \(SA = b\) ta có:

\(\Delta SAB\) cân tại \(A \Rightarrow SH \bot AB\).

Xét tam giác vuông \(SAH\) có: \(SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} \).

\( \Rightarrow {S_{\Delta SAB}} = \frac{1}{2}SH.AB = \frac{1}{2}\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} .a\).

\( \Rightarrow {S_{xq}} = 4{S_{\Delta SAB}} = 2\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} .a\), \({S_{ABCD}} = {a^2}\).

Theo bài ra ta có: \({S_{xq}} = 2{S_{ABCD}} \Rightarrow 2\sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}} .a = 2{a^2}\).

\( \Leftrightarrow \sqrt {{b^2} - \frac{{{a^2}}}{4}}  = a \Leftrightarrow {b^2} - \frac{{{a^2}}}{4} = {a^2} \Leftrightarrow {b^2} = \frac{{5{a^2}}}{4} \Leftrightarrow b = \frac{{a\sqrt 5 }}{2}\).

\( \Rightarrow SH = a\).

Vì \(SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot OH \Rightarrow \Delta SOH\) vuông tại \(O\).

Xét tam giác vuông \(SOH\) có \(SO = \sqrt {S{H^2} - O{H^2}}  = \sqrt {{a^2} - \frac{{{a^2}}}{4}}  = \frac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}\frac{{a\sqrt 3 }}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}\sqrt 3 }}{6}\).

Chọn B.