Phương pháp giải:

Diện tích xung quanh của khối trụ là \(2\pi rh\) (\(r\)là bán kính đáy, \(h\) là chiều cao của khối trụ).

Thể tich của khối trụ là \(\pi {r^2}h.\)

Lời giải chi tiết:

Thiết diện qua trục của khối trụ là hình vuông nên chiều cao của khối trụ bằng đường kính đáy.

\( \Rightarrow h = 2r\)

Diện tích xung quanh bằng \(4\pi  \Rightarrow 2\pi rh = 4\pi \)

\( \Rightarrow 2\pi .r.2r = 4\pi  \Leftrightarrow {r^2} = 1 \Leftrightarrow r = 1 \Rightarrow h = 2\).

Vậy thể tích của khối trụ là \(V = \pi {r^2}h = \pi {.1^2}.2 = 2\pi .\)

Chọn B.