Phương pháp giải:

- Dựa vào đề bài để tìm đường cao của khối lăng trụ.

- Áp dụng công thức tính thể tích

Lời giải chi tiết:

Gọi \(H\) là trung điểm của \(BC\), vì tam giác \(ABC\) vuông tại \(A \Rightarrow H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta ABC\).

Mà \(A'A = A'B = A'C \Rightarrow A'H \bot \left( {ABC} \right)\).

\( \Rightarrow \left( {A'A;\left( {ABC} \right)} \right) = \left( {A'A;HA} \right) = \angle A'AH = {30^0}\).

\(\Delta ABC\) vuông tại \(A \Rightarrow BC = \sqrt {A{B^2} + A{C^2}}  = a\sqrt 3 .\)

\( \Rightarrow AH = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

Xét \(\Delta A'AH\) vuông tại \(H\) có \(\angle A'AH = 30^\circ \)

 \( \Rightarrow A'H = \tan 30^\circ .AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{a}{2}.\)

\({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.a.a\sqrt 2  = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \({V_{ABC.A'B'C'}} = A'H.{S_{ABC}} = \dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{4}.\)

Chọn C