Phương pháp giải:

- Xác định đường cao của hình chóp.

- Sử dụng công thức tính thể tích hình chóp khi biết đường cao và diện tích đáy.

Lời giải chi tiết:

Gọi \(I\) là trung điểm cạnh\(AB\), vì \(\Delta SAB\) đều \( \Rightarrow SI \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABC} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABC} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SI \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SI \bot \left( {ABC} \right)\).

\(\Delta SAB\)là tam giác đều cạnh \(a \Rightarrow SI = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).

\(\Delta ABC\) vuông tại \(B\) có \(AB = a,AC = a\sqrt 3  \Rightarrow BC = a\sqrt 2 \)(Định lí Pytago).

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{1}{2}AB.BC = \dfrac{1}{2}.a.a\sqrt 2  = \dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2}\).

Vậy \({V_{S.ABC}} = \dfrac{1}{3}.SI.{S_{ABC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 6 }}{{12}}.\)

Chọn C