Câu hỏi:
Khối lăng trụ \(ABCA'B'C'\) có đáy là tam giác đều, a là độ dài cạnh đáy. Góc giữa cạnh bên và đáy là \(30^\circ .\) Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) trùng với trung điểm của BC. Thể tích của khối lăng trụ đã cho là
- A \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{4}.\)
- B \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{3}.\)
- C \(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{{12}}.\)
- D
\(\dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}.\)
Phương pháp giải:
+ Xác định góc giữa cạnh bên và đáy.
+ Tính độ dài đường cao lăng trụ.
+ Áp dụng công thức tính thể tích lăng trụ \(V = {S_{day}}.h\).
Lời giải chi tiết:
Gọi \(H\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow A'H \bot \left( {ABC} \right)\).
\( \Rightarrow \angle \left( {AA';\left( {ABC} \right)} \right) = \angle \left( {AA';AH} \right) = \widehat {A'AH} = {30^0}\).
Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\).
Xét tam giác vuông \(A'AH\) có: \(A'H = AH.\tan {30^0} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{a}{2}\).
Tam giác \(ABC\) đều cạnh \(a \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\).
Vậy \(V = A'H.{S_{\Delta ABC}} = \dfrac{a}{2}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 3 }}{8}.\)
Chọn D
Câu hỏi trước
