Phương pháp giải:

+ Xác định chiều cao của chóp.

+ Xác định \(d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right)\).

+ Đặt cạnh của hình vuông là \(x\), áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông.

Lời giải chi tiết:

Trong \(\left( {SAB} \right)\) gọi \(I\) là trung điểm của \(AB \Rightarrow SI \bot AB\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SI \bot AB\end{array} \right. \Rightarrow SI \bot \left( {ABCD} \right)\).

Gọi \(K\) là trung điểm của \(CD\) ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}CD \bot IK\\CD \bot SI\,\,\left( {SI \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot \left( {SIK} \right)\).

Trong \(\left( {SIK} \right)\) kẻ \(IH \bot SK\) ta có: \(IH \bot CD\).

\( \Rightarrow IH \bot \left( {SCD} \right)\).

Ta có: \(AI\parallel CD \Rightarrow AI\parallel \left( {SCD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SCD} \right)} \right) = d\left( {I;\left( {SCD} \right)} \right) = \dfrac{{3\sqrt 7 a}}{7}\).

Gọi độ dài cạnh đáy bằng \(x\)suy ra \(SI = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}x;\,\,IK = x.\)

Ta có tam giác \(SIK\)vuông tại \(I\), có đường cao \(IH\).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{S{I^2}}} + \dfrac{1}{{I{K^2}}} = \dfrac{1}{{I{H^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}x} \right)}^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{1}{{{{\left( {\dfrac{{3\sqrt 7 }}{7}a} \right)}^2}}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{4}{{3{x^2}}} + \dfrac{1}{{{x^2}}} = \dfrac{7}{{9{a^2}}} \Leftrightarrow \dfrac{7}{{3{x^2}}} = \dfrac{7}{{9{a^2}}} \Leftrightarrow x = a\sqrt 3 .\\ \Rightarrow V = \dfrac{1}{3}.SI.A{B^2} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}x.{x^2} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{6}{x^3} = \dfrac{3}{2}{a^3}.\end{array}\)

Chọn D