Phương pháp giải:

Biên độ dao động tổng hợp: \(A=\sqrt{{{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \left( {{\varphi }_{1}}-{{\varphi }_{2}} \right)}\)

Khoảng cách lớn nhất giữa hai vật: \({{d}_{\max }}=\sqrt{{{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}-2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi }\)

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy để tìm cực trị.

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(x={{x}_{1}}+{{x}_{2}}\), giá trị lớn nhất của tổng li độ dao động của hai vật:

\(A=\sqrt{{{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi }\)

Khoảng cách lớn nhất giữa hai vật:

\({{d}_{\max }}=\sqrt{{{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}-2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi }\)

Theo đề bài ta có: \(A=2{{d}_{\max }}\)

\(\begin{align}& \Rightarrow \sqrt{{{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi }=2\sqrt{{{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}-2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi } \\& \Rightarrow {{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}+2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi =4\left( {{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}-2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi  \right) \\& \Rightarrow 3{{A}_{1}}^{2}+3{{A}_{2}}^{2}-10{{A}_{1}}{{A}_{2}}\cos \Delta \varphi =0 \\& \Rightarrow \cos \Delta \varphi =\frac{3}{5}\frac{{{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}}{2{{A}_{1}}{{A}_{2}}} \\\end{align}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có: \({{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}\ge 2{{A}_{1}}{{A}_{2}}\)

\(\Rightarrow \frac{{{A}_{1}}^{2}+{{A}_{2}}^{2}}{2{{A}_{1}}{{A}_{2}}}\ge 1\Rightarrow \cos \Delta \varphi \ge \frac{3}{5}\Rightarrow {{\left( \cos \Delta \varphi  \right)}_{\min }}=\frac{3}{5}\Rightarrow \Delta {{\varphi }_{\max }}=53,{{13}^{0}}\)

Chọn B.