Phương pháp giải:

Liệt kê các bộ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Lời giải chi tiết:

Gọi số có 6 chữ số cần tìm là $\overline {abcdef}$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}a + b + c + d + e + f = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21\\a + b + c = d + e + f + 1\end{array} \right. \Rightarrow a + b + c = 11$.

Do $a,\,\,b,\,\,c \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\} \Rightarrow \left( {a;b;c} \right) = \left( {1;4;6} \right);\,\,\left( {2;3;6} \right);\,\,\left( {2;4;5} \right)$.

Với mỗi bộ số như vậy ta có $3!$ cách chọn $a,\,\,b,\,\,c$ và $3!$ cách chọn $d,\,\,e,\,\,f$.

Do đó có $3.3!.3! = 108$ số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn C