Phương pháp giải:

Trước tiên ta tính tổng $C$  rồi kiểm tra xem $C$  có chia hết cho $100$  hay không.

Ta thấy mỗi số hạng của tổng là tích của $2$ số tự nhiên liên tiếp, để tính tổng trên ta nhân cả $2$  vế với  $2 + 1 = 3$ sau đó viết $3 = 4 - 1 = 5 - 2 = ....$  để xuất hiện các số hạng đối nhau.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $C = 1.2 + 2.3 + .... + 3.4 + ..... + 98.99$

$\begin{array}{l} \Rightarrow 3C = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + ... + 98.99.3\\ = 1.2.3 + 2.3.\left( {4 - 1} \right) + 3.4.\left( {5 - 2} \right) + ... + 98.99.\left( {100 - 97} \right)\\ = 1.2.3 + 2.3.4 - 1.2.3 + 3.4.5 - 2.3.4 + ... + 98.99.100 - 97.98.99\\ = 98.99.100\\ \Rightarrow C = \frac{{98.99.100}}{3} = 98.33.100.\end{array}$

Vì  $98.33.100\,\,\, \vdots \,\,100 \Rightarrow C\,\,\, \vdots \,\,\,100.$ (đpcm)