Phương pháp giải:

- Nếu hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến (nghịch biến) trên \(\left( {a;b} \right)\) thì pt \(f\left( x \right) = 0\)có tối đa 1 nghiệm trên \(\left( {a;b} \right)\)  (Nhẩm nghiệm, chứng minh nghiệm duy nhất).
- Nếu hàm số \(f\left( x \right)\) đồng biến (nghịch biến) trên \(\left( {a;b} \right)\), có \(u,v \in \left( {a;b} \right);f\left( u \right) = f\left( v \right)\) thì \(u = v.\)

Lời giải chi tiết:

ĐKXĐ: \(x \ge 1\).

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  = \sqrt {4{x^2} + 9}  + x\\ \Leftrightarrow \sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  = \sqrt {4\left( {{x^2} + 1} \right) + 5}  + \sqrt {{x^2} + 1 - 1} \,\,\,\,\left( {do\,\,x > 0 \Rightarrow \sqrt {{x^2}}  = x} \right)\end{array}\)

Đặt \({x^2} + 1 = t,\,\,\,t \ge 1 \Rightarrow {x^2} = t - 1\)  phương trình trở thành:

\(\sqrt {4x + 5}  + \sqrt {x - 1}  = \sqrt {4t + 5}  + \sqrt {t - 1}  \Leftrightarrow f\left( x \right) = f\left( t \right)\,\,\,\left( * \right)\)

Xét hàm số đặc trưng \(f\left( u \right) = \sqrt {4u - 5}  + \sqrt {u - 1} \)  ta có:

Với  \(1 \le {u_1} < {u_2}\) ta có:

\(\begin{array}{l}f\left( {{u_2}} \right) - f\left( {{u_1}} \right) = \sqrt {4{u_2} - 5}  + \sqrt {{u_2} - 1}  - \sqrt {4{u_1} - 5}  - \sqrt {{u_1} - 1} \\ = \left( {\sqrt {4{u_2} - 5}  - \sqrt {4{u_1} - 5} } \right) + \left( {\sqrt {{u_2} - 1}  - \sqrt {{u_1} - 1} } \right) > 0\,\,\,\,do\,\,{u_2} > {u_1}\end{array}\)

\( \Rightarrow \) Hàm số \(y = f\left( u \right)\) là hàm đồng biến \( \Rightarrow y = f\left( x \right),\,\,y = f\left( t \right)\) cũng là các hàm số đồng biến trên tập xác định của các hàm số.

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow x = t \Leftrightarrow x = {x^2} + 1 \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 0\\ \Leftrightarrow {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} = 0\,\,\,\left( {vo\,\,\,nghiem} \right).\end{array}\)

Chọn  D.