Phương pháp giải:

$\left. \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\\f\left( { - x} \right) =  - f\left( x \right)\end{array} \right\} \Rightarrow f\left( x \right)$ là hàm số lẻ và có đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ $O.$

$\left. \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\\f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\end{array} \right\} \Rightarrow f\left( x \right)$ là hàm số chẵn và có đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung $Oy.$

Lời giải chi tiết:

$\begin{array}{l} + )\,\,\,f\left( x \right) = {x^{2018}} - 2017\\D = \mathbb{R}\\\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\\f( - x) = {\left( { - x} \right)^{2018}} - 2017 = {x^{2018}} - 2017 = f\left( x \right)\end{array}$ 

$\Rightarrow$ Hàm số trên là hàm số chẵn $\Rightarrow$ loại đáp án A.

$\begin{array}{l} + )\,\,f(x) = \sqrt {2x + 3} \\D = \left[ { - \frac{3}{2};\,\, + \infty } \right).\end{array}$

Vì $D$ là tập không đối xứng nên hàm số không chẵn, không lẻ $\Rightarrow$ loại đáp án B.

$\begin{array}{l} + )\,\,\,f\left( x \right) = \sqrt {3 + x}  - \sqrt {3 - x} \\D = \left[ { - 3;3} \right]\\\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\\f\left( { - x} \right) = \sqrt {3 + \left( { - x} \right)}  - \sqrt {3 - \left( { - x} \right)}  = \sqrt {3 - x}  - \sqrt {3 + x}  =  - f\left( x \right)\end{array}$

$\Rightarrow$ Hàm số trên là hàm lẻ $\Rightarrow$ đáp án C đúng.

$\begin{array}{l} + )\,\,\,f\left( x \right) = \left| {x + 3} \right| + \left| {x - 3} \right|\\D = \mathbb{R}\\\forall x \in D \Rightarrow  - x \in D\\f\left( { - x} \right) = \left| { - x + 3} \right| + \left| { - x - 3} \right| = \left| {x - 3} \right| + \left| {x + 3} \right| = f\left( x \right)\end{array}$

$\Rightarrow$ Hàm số trên là hàm chẵn $\Rightarrow$ loại đáp án D.

Chọn  C.