Phương pháp giải:

$\Delta ABC$ cân tại$A \Rightarrow AB = AC.$  

Lời giải chi tiết:

Ta có: $C \in d:\,\,x - 2y + 1 = 0 \Rightarrow C\left( {2c - 1;\,\,c} \right).$

$\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AC}  = \left( {2c - 4;\,\,c - 1} \right)\\\overrightarrow {AB}  = \left( { - 4;\,\,1} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A{C^2} = {\left( {2c - 4} \right)^2} + {\left( {c - 1} \right)^2} = 5{c^2} - 18c + 17\\A{B^2} = 17\end{array} \right.$

Vì $\Delta AB$ cân tại $A \Rightarrow AB = AC \Leftrightarrow A{B^2} = A{C^2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 5{c^2} - 18c + 17 = 17\\ \Leftrightarrow 5{c^2} - 18c = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 0\\c = \frac{{18}}{5}\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}C\left( { - 1;\,\,0} \right)\\C\left( {\frac{{31}}{5};\,\,\frac{{18}}{5}} \right)\end{array} \right.\end{array}$

Chọn  B.