Phương pháp giải:

Gọi tọa độ các điểm $B,\,\,C.$

Sử dụng tính chất trung điểm và tam giác cân để làm bài toán.

Lời giải chi tiết:

Gọi $B\left( {a;\,\,b} \right),\,\,\,C\left( {c;\,\,d} \right)\,\,\,\,\,\left( {a \in \mathbb{Z}} \right).$

Ta có $M$ là trung điểm của $AB \Rightarrow M\left( {\frac{{a + 1}}{2};\,\,\frac{{b - 2}}{2}} \right).$

$N$ là trung điểm của $AC \Rightarrow N\left( {\frac{{c + 1}}{2};\,\,\frac{{d - 2}}{2}} \right).$

Lại có $M,\,\,N \in d:\,\,x - y = 0$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{a + 1}}{2} - \frac{{b - 2}}{2} = 0\\\frac{{c + 1}}{2} - \frac{{d - 2}}{2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - b + 3 = 0\\c - d + 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = a + 3\\d = c + 3\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\left( {a;\,\,a + 3} \right)\\C\left( {c;\,\,c + 3} \right)\end{array} \right..\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\overrightarrow {AB}  = \left( {a - 1;\,\,a + 5} \right)\\\overrightarrow {AC}  = \left( {c - 1;\,\,c + 5} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}AB = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {a + 5} \right)}^2}} \\AC = \sqrt {{{\left( {c - 1} \right)}^2} + {{\left( {c + 5} \right)}^2}} \end{array} \right..\end{array}$

Theo bài ra ta có $\Delta ABC$ là tam giác cân tại$A \Rightarrow AB = AC$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {a + 5} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {c - 1} \right)}^2} + {{\left( {c + 5} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 8a + 26 = 2{c^2} + 8c + 26\\ \Leftrightarrow 2\left( {{a^2} - {c^2}} \right) + 8\left( {a - c} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - c} \right)\left( {a + c} \right) + 4\left( {a - c} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {a - c} \right)\left( {a + c + 4} \right) = 0\,\,\,\,\,\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a + c + 4 = 0\\a - c = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c =  - 4 - a\\a = c\end{array} \right..\end{array}$

Nếu $a = c \Rightarrow B\left( {a;\,\,a + 3} \right),\,\,C\left( {a;\,\,a + 3} \right) \Rightarrow B \equiv C \Rightarrow$ vô lý.

$\Rightarrow a + c + 4 = 0.$

Ta có: $E\left( { - 2;\,\,0} \right)$ thuộc đường cao của$\Delta ABC \Rightarrow CE \bot AB.$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {CE} .\overrightarrow {AB}  = 0\\ \Leftrightarrow \left( { - 2 - c;\,\, - c - 3} \right).\left( {a - 1;\,\,a + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left( {2 + c} \right)\left( {a - 1} \right) + \left( {c + 3} \right)\left( {a + 5} \right) = 0\\ \Leftrightarrow 2a - 2 + ac - c + ca + 5c + 3a + 15 = 0\\ \Leftrightarrow 5a + 4c + 2ac + 13 = 0\\ \Leftrightarrow 5a + 4\left( { - 4 - a} \right) + 2a\left( { - 4 - a} \right) + 13 = 0\\ \Leftrightarrow 5a - 16 - 4a - 8a - 2{a^2} + 13 = 0\\ \Leftrightarrow 2{a^2} + 7a + 3 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 3 \Rightarrow c =  - 1\\a =  - \frac{1}{2}\,\,\,\left( {ktm\,\,\,a \in \mathbb{Z}} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}B\left( { - 3;\,\,0} \right)\\C\left( { - 1;\,\,2} \right)\end{array} \right..\end{array}$

Chọn  D.