Phương pháp giải:

+) Lập phương trình đường thẳng $AB$ đi qua $A$ và vuông góc với $CH.$

+) Tìm tọa độ điểm $B = BM \cap AB.$

Lời giải chi tiết:

Đường thẳng $AB \bot CH \Rightarrow AB$ có VTPT là: $\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {1; - 2} \right).$

Phương trình đường thẳng  $AB$ đi qua $A$ và vuông góc với $CH$ là: $x + 2 - 2\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 8 = 0.$

Khi đó tọa độ điểm $B$ là nghiệm của hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 1 = 0\\x - 2y + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 5\end{array} \right. \Rightarrow B\left( {2;\,\,5} \right).$

Gọi $C\left( {c;\,\,7 - 2c} \right).$

Khi đó ta có tọa độ trọng tâm $G$ của $\Delta ABC$ là: $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{ - 2 + 2 + c}}{3} = \frac{c}{3}\\{y_G} = \frac{{3 + 5 + 7 - 2c}}{3} = \frac{{15 - 2c}}{3}\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{c}{3};\,\,\frac{{15 - 2c}}{3}} \right).$

Lại có $G \in BM \Rightarrow 2.\frac{c}{3} - \frac{{15 - 2c}}{3} + 1 = 0 \Leftrightarrow 2c - 15 + 2c + 3 = 0 \Leftrightarrow c = 3$

$\Rightarrow C\left( {3;\,\,1} \right) \Rightarrow G\left( {1;\,\,3} \right).$

Chọn  D.