Phương pháp giải:

Ta có: $\Delta ABC$ cân tại $B \Rightarrow BA = BC.$

Lời giải chi tiết:

Theo đề bài ta có: $C \in d:\,\,y = 2 \Rightarrow C\left( {c;\,\,2} \right).$

Lại có: $\Delta ABC$ cân tại $B \Rightarrow BA = BC$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {0 - 1} \right)}^2} + {{\left( {3 - 2} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {0 - c} \right)}^2} + {{\left( {3 - 2} \right)}^2}} \\ \Leftrightarrow 1 + 1 = {c^2} + 1 \Leftrightarrow {c^2} = 1\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 1\\c =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}C\left( {1;\,\,2} \right)\\C\left( { - 1;\,\,2} \right)\end{array} \right..\end{array}$

Chọn  C.