Phương pháp giải:

Tính giá trị biểu thức $A$ bằng cách nhân cả hai về với $2,$ tính giá trị biểu thức $2A$ từ đó suy ra giá trị của $A.$ 

Lời giải chi tiết:

$A = 2 + {2^2} + {2^3} + ..... + {2^{2017}}$

Nhân cả hai vế của đẳng thức với $2$ ta được:

$\begin{array}{l}2A = 2.\left( {2 + {2^2} + {2^3} + ...... + {2^{2017}}} \right)\\2A = {2^2} + {2^3} + {2^4} + ...... + {2^{2018}}\\ \Rightarrow 2A - A = \left( {{2^2} + {2^3} + {2^4} + ...... + {2^{2018}}} \right) - \left( {2 + {2^2} + {2^3} + ...... + {2^{2017}}} \right)\\ \Rightarrow A = {2^{2018}} - 2.\end{array}$

Vậy $A = {2^{2018}} - 2.$

Chọn A.

Phương pháp giải:

Tính giá trị biểu thức $B$ bằng cách nhân cả hai về với ${3^2},$ tính giá trị biểu thức $9B$ từ đó suy ra giá trị của $B.$ 

Lời giải chi tiết:

$B = 1 + {3^2} + {3^4} + ..... + {3^{2018}}$

Nhân cả hai vế của đẳng thức với ${3^2}$ ta được:

$\begin{array}{l}{3^2}.B = {3^2}\left( {1 + {3^2} + {3^4} + ...... + {3^{2018}}} \right)\\9B = {3^2} + {3^4} + {3^6} + ..... + {3^{2020}}\\ \Rightarrow 9B - B = \left( {{3^2} + {3^4} + {3^6} + ..... + {3^{2020}}} \right) - \left( {1 + {3^2} + {3^4} + ...... + {3^{2018}}} \right)\\ \Rightarrow 8B = {3^{2020}} - 1\\ \Rightarrow B = \frac{{{3^{2020}} - 1}}{8}.\end{array}$

Vậy $B = \frac{{{3^{2020}} - 1}}{8}.$ 

Chọn D.