Phương pháp giải:

Gọi $z = \sqrt 2  + yi\,\,\left( {y \in \mathbb{R}} \right)$. Sử dụng phương pháp hàm số.

Lời giải chi tiết:

Gọi $z = \sqrt 2  + yi\,\,\left( {y \in \mathbb{R}} \right)$. Theo bài ra ta có:

$\left| {\dfrac{1}{z} - i} \right| = \dfrac{{\left| {1 - iz} \right|}}{{\left| z \right|}} = \dfrac{{\left| {1 - i\left( {\sqrt 2  + yi} \right)} \right|}}{{\sqrt {2 + {y^2}} }} = \sqrt {\dfrac{{2 + {{\left( {1 + y} \right)}^2}}}{{2 + {y^2}}}}  = \sqrt {f\left( y \right)}$.

Xét hàm số

$\begin{array}{l}f\left( y \right) = \dfrac{{2 + {{\left( {1 + y} \right)}^2}}}{{2 + {y^2}}} = \dfrac{{3 + 2y + {y^2}}}{{2 + {y^2}}} = 1 + \dfrac{{1 + 2y}}{{2 + {y^2}}}\\f'\left( y \right) = \dfrac{{2\left( {2 + {y^2}} \right) - \left( {1 + 2y} \right).2y}}{{{{\left( {2 + y} \right)}^2}}} = \dfrac{{4 + 2{y^2} - 2y - 4{y^2}}}{{{{\left( {2 + y} \right)}^2}}} = \dfrac{{ - 2{y^2} - 2y + 4}}{{{{\left( {2 + y} \right)}^2}}}\\f'\left( y \right) = 0 \Leftrightarrow  - 2{y^2} - 2y + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}y = 1\\y =  - 2\end{array} \right.\end{array}$

BBT:

Từ BBT $\Rightarrow \max f\left( y \right) = f\left( 1 \right) = 2 \Leftrightarrow \max \left| {\dfrac{1}{z} - i} \right| = \sqrt 2$.

Chọn A.