Phương pháp giải:

+) Gọi H là trung điểm của AB. Chứng minh $SH \bot \left( {ABCD} \right)$

+) Chứng minh $AI \bot DH$

+) Chứng minh $\widehat {\left( {\left( {SAI} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SE;DH} \right)}$

Lời giải chi tiết:

Gọi H là trung điểm của AB

Vì tam giác SAB vuông cân tại S $\Rightarrow SH \bot AB$

Ta có: $\left. \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SH \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)$

Dễ dàng chứng minh được $AI \bot DH$

Ta có: $\left. \begin{array}{l}AI \bot DH\\AI \bot SH\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AI \bot \left( {SHD} \right) \Rightarrow AI \bot SE$

$\left. \begin{array}{l}\left( {SAI} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AI\\SE \bot AI\\DH \bot AI\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAI} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SE;DH} \right)} = \widehat {SEH}$

(Vì  $SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot HE \Rightarrow \Delta SHE$ vuông tại H $\Rightarrow \widehat {SEH} < {90^0}$)

Xét tam giác vuông AHD có: $HD = \sqrt {{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{4}}  = \dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}$

$HE.HD = A{H^2} \Rightarrow HE = \dfrac{{A{H^2}}}{{HD}} = \dfrac{{\dfrac{{{a^2}}}{4}}}{{\dfrac{{a\sqrt 5 }}{2}}} = a\dfrac{{\sqrt 5 }}{{10}}$

Xét tam giác vuông SAB có: $SH = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}$

Trong tam giác vuông SHE có: $\tan \widehat {SEH} = \dfrac{{SH}}{{SE}} = \dfrac{{\dfrac{a}{2}}}{{\dfrac{{a\sqrt 5 }}{{10}}}} = \sqrt 5$

Chọn B.