Phương pháp giải:

+) Xác định vị trí của điểm H.

+) Dựa vào phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng để xác định góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC).

+) Sử dụng hàm tan tính tan của góc vừa xác định được.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\overrightarrow {IH}  + 2\overrightarrow {AH}  = \overrightarrow 0$ nên H nằm giữa A; I và $HI = 2AH.$

Vì tam giác ABC đều nên $AI \bot BC$.

Mà $SH \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SHI} \right) \Rightarrow BC \bot SI$

$\left. \begin{array}{l}\left( {SBC} \right) \cap \left( {ABC} \right) = BC\\SI \bot BC\\AI \bot BC\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SBC} \right);\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SI;AI} \right)} = \widehat {SIA}$  ($\widehat {SIA} < {90^0}$)

Ta có: $AI = a\sqrt 2 .\frac{{\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{2};HI = \dfrac{2}{3}AI = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}$

Xét tam giác vuông SHI có: $\tan \widehat {SIH} = \dfrac{{SH}}{{IH}} = 2a\dfrac{3}{{a\sqrt 6 }} = \sqrt 6$

Chọn A.