Phương pháp giải:

Sử dụng phương trình mặt phẳng theo đoạn chắn : Mặt phẳng \(\left( P \right)\) cắt \(Ox;Oy;Oz\) lần lượt tại \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\,\,\,\left( {a;b;c \ne 0} \right)\)  thì có phương trình \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)

Thể tích khối tứ diện \(OABC\) là \(V = \frac{1}{6}OA.OB.OC\)

Sử dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(a,b,c\) không âm \(a + b + c \ge 3\sqrt[3]{{abc}}\)

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c.\)

Lời giải chi tiết:

Gọi \(A\left( {a;0;0} \right),B\left( {0;b;0} \right),C\left( {0;0;c} \right)\) \(\left( {a;b;c > 0} \right)\) thì \(\left( P \right)\) có phương trình \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1\)

Vì  \(M\left( {1;2;1} \right) \in \left( P \right) \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1\)

Thể tích khối tứ diên \(OABC\) là \(V = \frac{1}{6}OA.OB.OC = \frac{1}{6}abc\)

Ta tìm giá trị nhỏ nhất của \(V = \frac{1}{6}abc\)

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số \(\frac{1}{a};\frac{2}{b};\frac{1}{c}\) ta có \(\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} \ge 3\sqrt[3]{{\frac{2}{{abc}}}} \Leftrightarrow 1 \ge 3\frac{{\sqrt[3]{2}}}{{\sqrt[3]{{abc}}}} \Leftrightarrow 1 \ge \frac{{54}}{{abc}} \Leftrightarrow abc \ge 54\)

Dấu  ‘’=’’ xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{a} = \frac{2}{b} = \frac{1}{c}\\\frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{3}{c} = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 3\\b = 6\\c = 3\end{array} \right.\)

Suy ra giá trị nhỏ nhất của \(V\) là \(\frac{1}{6}.54 = 9 \Leftrightarrow a = 3;b = 6;c = 3.\)

Chọn B.