Phương pháp giải:

Sử dụng định nghĩa tiệm cận:

+) Đường thẳng \(y = {y_0}\) được gọi là đường tiệm cận ngang nếu \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = {y_0}\) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = {y_0}\).

+) Đường thẳng \(x = {x_0}\) được gọi là đường tiệm cận đứng nếu thỏa mãn một trong số các điều kiện sau đây: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  + \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  + \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ + } y =  - \infty \) hoặc \(\mathop {\lim }\limits_{x \to x_0^ - } y =  - \infty \).

Lời giải chi tiết:

Điều kiện : \(x > 1\).

Ta thấy : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \dfrac{{x - 2}}{{x\sqrt {x - 1} }} =  - \infty \) nên \(x = 1\) là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{x - 2}}{{x\sqrt {x - 1} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \dfrac{{1 - \dfrac{2}{x}}}{{\sqrt {x - 1} }} = 0\) nên \(y = 0\) là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Vậy đồ thị hàm số đã cho có \(2\) đường tiệm cận.

Chọn C.