Phương pháp giải:

Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt thuộc hai mặt phẳng và vuông góc với giao tuyến.

Lời giải chi tiết:

Gọi $O = AC \cap BD$ ta có: $\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AO\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAO} \right) \Rightarrow BD \bot SO$.

$\left\{ \begin{array}{l}\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\\left( {SBD} \right) \supset SO \bot BD\\\left( {ABCD} \right) \supset AO \bot BD\end{array} \right. \Rightarrow \angle \left( {\left( {SBD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right) = \angle \left( {SO;AO} \right) = \angle SOA$.

$ABCD$ là hình vuông cạnh $a \Rightarrow AO = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$.

Trong tam giác vuông $SAO:\,\,SO = \sqrt {S{A^2} + O{A^2}}  = \sqrt {4{a^2} + \dfrac{{{a^2}}}{2}}  = \dfrac{{3a}}{{\sqrt 2 }}$.

Vậy $\cos \angle SOA = \dfrac{{AO}}{{SO}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}}}{{\dfrac{{3a}}{{\sqrt 2 }}}} = \dfrac{1}{3}$.

Chọn A.