Phương pháp giải:

Sử dụng lý thuyết: Góc giữa hai mặt phẳng bằng góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng ấy.

Lời giải chi tiết:

Gọi $O$ là tâm hình vuông $ABCD$.

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}SO \bot \left( {ABCD} \right)\\SC \bot \left( P \right)\end{array} \right.$ $\Rightarrow$ góc giữa $\left( {ABCD} \right)$ và $\left( P \right)$ là góc giữa $SC$ và $SO$ hay $\widehat {CSO}$.

Hình vuông $ABCD$ cạnh $2a$ nên $OC = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{1}{2}.2a\sqrt 2  = a\sqrt 2$.

Tam giác $SOC$ vuông tại $O$ nên $SO = \sqrt {S{C^2} - O{C^2}}  = \sqrt {5{a^2} - 2{a^2}}  = a\sqrt 3$.

$\Rightarrow \tan \beta  = \tan \widehat {CSO} = \dfrac{{OC}}{{SO}} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{{a\sqrt 3 }} = \dfrac{{\sqrt 6 }}{3}$.

Chọn A.