Đề bài

Cho $a \ge b > 0$. Khẳng định nào đúng?

• A. $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}$ 
• B. $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} < \dfrac{4}{{a + b}}$
• C. $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{4}{{a + b}}$
• D. $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} > \dfrac{4}{{a + b}}$

Phương pháp giải

+)  Phương pháp xét hiệu $P = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{4}{{a + b}}$

+) Quy đồng mẫu và  sử dụng các hằng đẳng thức để đánh giá hiệu $P$ với $0$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

$P = \;\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{4}{{a + b}}$$= \dfrac{{a + b}}{{ab}} - \dfrac{4}{{a + b}}\\ = \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\;\; = \dfrac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\;\\ = \dfrac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}}$

Do $a + b > 0;\;ab > 0$ và ${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\;\;\;\forall \;a,\;b$ nên $\dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} \ge 0 \Rightarrow P \ge 0$ hay $\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}$.

Đáp án : A