Đề bài

Cho \(a \ge b > 0\). Khẳng định nào đúng?

• A. \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\) 
• B. \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} < \dfrac{4}{{a + b}}\)
• C. \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} = \dfrac{4}{{a + b}}\)
• D. \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} > \dfrac{4}{{a + b}}\)

Phương pháp giải :

+)  Phương pháp xét hiệu \(P = \dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{4}{{a + b}}\)

+) Quy đồng mẫu và  sử dụng các hằng đẳng thức để đánh giá hiệu \(P\) với \(0\).

Lời giải chi tiết :

\(P = \;\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} - \dfrac{4}{{a + b}} \)\(= \dfrac{{a + b}}{{ab}} - \dfrac{4}{{a + b}}\\ = \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2} - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\;\; = \dfrac{{{a^2} + 2ab + {b^2} - 4ab}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\;\\ = \dfrac{{{a^2} - 2ab + {b^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} = \dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}}\)

Do \(a + b > 0;\;ab > 0\) và \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\;\;\;\forall \;a,\;b\) nên \(\dfrac{{{{\left( {a - b} \right)}^2}}}{{ab\left( {a + b} \right)}} \ge 0 \Rightarrow P \ge 0\) hay \(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{{a + b}}\).

Đáp án : A