Đề bài

Với mọi $a,b,c$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

• A. ${a^2} + {b^2} + {c^2} < ab + bc + ca$    
• B. ${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca$
• C. ${a^2} + {b^2} + {c^2} \le ab + bc + ca$
• D. Cả A, B, C đều sai

Phương pháp giải

+)  Phương pháp xét hiệu $\;P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ca} \right)$

+) Sử dụng quy tắc chuyển vế đổi dấu và sử dụng các hằng đẳng thức để đánh giá hiệu $P$ với $0$.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

$\;P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ca} \right)$$= \dfrac{1}{2}\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac - 2bc} \right)$

$= \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right)} \right]$

$= \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right] \ge 0$ với mọi $a,b,c$ (vì  ${\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0;$${\left( {b - c} \right)^2} \ge 0$ với mọi $a,b,c$ )

Nên $P \ge 0$ khi và chỉ khi ${a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ac$ .

Đáp án : B