Đề bài

Với mọi \(a,b,c\) . Khẳng định nào sau đây là đúng?

• A. \({a^2} + {b^2} + {c^2} < ab + bc + ca\)    
• B. \({a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\)
• C. \({a^2} + {b^2} + {c^2} \le ab + bc + ca\)
• D. Cả A, B, C đều sai

Phương pháp giải :

+)  Phương pháp xét hiệu \(\;P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ca} \right)\)

+) Sử dụng quy tắc chuyển vế đổi dấu và sử dụng các hằng đẳng thức để đánh giá hiệu \(P\) với \(0\).

Lời giải chi tiết :

\(\;P = {a^2} + {b^2} + {c^2} - \left( {ab + bc + ca} \right)\)\( = \dfrac{1}{2}\left( {2{a^2} + 2{b^2} + 2{c^2} - 2ab - 2ac - 2bc} \right)\)

\( = \dfrac{1}{2}\left[ {\left( {{a^2} - 2ab + {b^2}} \right) + \left( {{a^2} - 2ac + {c^2}} \right) + \left( {{b^2} - 2bc + {c^2}} \right)} \right]\)

\( = \dfrac{1}{2}\left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} + {{\left( {a - c} \right)}^2} + {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right] \ge 0\) với mọi \(a,b,c\) (vì  \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0;\,{\left( {a - c} \right)^2} \ge 0;\)\({\left( {b - c} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(a,b,c\) )

Nên \(P \ge 0\) khi và chỉ khi \( {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ac\) .

Đáp án : B