Đề bài

Cho các phát biểu sau:

1. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt cực đại tại ${x_0}$ khi và chỉ khi đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm qua ${x_0}$.

2. Hàm số $y = f\left( x \right)$ đạt cực trị tại ${x_0}$ khi và chỉ khi ${x_0}$ là nghiệm của đạo hàm.

3. Nếu $f'\left( {{x_0}} \right) = 0$ và $f''\left( {{x_0}} \right) = 0$ thì ${x_0}$ không phải là cực trị của hàm số $y = f\left( x \right)$ đã cho.

4. Nếu $f'\left( {{x_0}} \right) = 0$ và $f''\left( {{x_o}} \right) > 0$ thì hàm số đạt cực đại tại ${x_0}$.

Các phát biểu đúng là:

• A. 1; 3; 4  
• B. 1
• C. 1; 2; 4  
• D. Tất cả đều đúng

Phương pháp giải

Sử dụng các định lý về cực trị hàm số để xét tính đúng, sai của các phát biểu.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

+) Ta có định lí: Nếu $f'\left( x \right)$ đổi dấu từ dương sang âm khi $x$ qua điểm ${x_o}$ (theo chiều tăng) thì hàm số đạt cực đại tại điểm ${x_o}$ $ \Rightarrow $ 1 đúng.

+) Điều kiện cần để ${x_o}$ là điểm cực trị của hàm số là: ${x_o}$ là nghiệm của phương trình $f'\left( x \right) = 0$$ \Rightarrow $ 2 sai.

+) Nếu $f'\left( {{x_o}} \right) = 0$ và $f\left( x \right)$ có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm ${x_o}$ thì:

-) Nếu $f''\left( {{x_o}} \right) < 0$ thì hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực đại tại điểm ${x_o}$.

-) Nếu $f''\left( {{x_o}} \right) > 0$ thì hàm số $f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại điểm ${x_o}$.

+) Nếu $f'\left( {{x_o}} \right) = 0$ và $f''\left( {{x_o}} \right) = 0$ thì ta không kết luận gì chứ không phải hàm số không đạt cực trị tại ${x_0}$.

Khi \(\left\{ \begin{array}{l}f'\left( {{x_0}} \right) = 0\\f''\left( {{x_0}} \right) = 0\end{array} \right.\) thì ta không kết luận gì vì có thể xảy ra cả hai trường hợp là hàm số đạt cực trị hoặc không đạt cực trị tại \({x_0}\).

Ví dụ:

+) TH1: Xét hàm \(f\left( x \right) = {x^4}\) có \(f'\left( x \right) = 4{x^3} = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

\(f''\left( x \right) = 12{x^2}\) và \(f''\left( 0 \right) = 0\).

Trong TH này hàm số có \(f''\left( 0 \right) = 0\) nhưng vẫn đạt cực tiểu tại \(x = 0\) vì đạo hàm \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm sang dương qua \(x = 0\).

+) TH2: Xét hàm \(g\left( x \right) = {x^3}\) có \(f'\left( x \right) = 3{x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\)

\(f''\left( x \right) = 6x \Rightarrow f''\left( 0 \right) = 0\)

Trong TH này hàm số có \(f''\left( 0 \right) = 0\) nhưng không đạt cực trị tại \(x = 0\) vì đạo hàm \(f'\left( x \right) = 3{x^2}\) không đổi dấu của \(x = 0\).

$ \Rightarrow $ 3 và 4 sai.

Đáp án : B