Đề bài

Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và một điểm $M$ sao cho $OM = 2R$. Từ $M$ vẽ các tiếp tuyến $MA,MB$ với đường tròn $(A,B$ là các tiếp điểm ). Tính diện tích giới hạn bởi hai tiếp tuyến $AM,MB$ và cung nhỏ $AB.$

• A. \(\dfrac{\pi }{3}{R^2}\)
• B. \(\sqrt 3 {R^2}\)
• C. \({R^2}\left( {\sqrt 3  + \dfrac{\pi }{3}} \right)\)
• D. \({R^2}\left( {\sqrt 3  - \dfrac{\pi }{3}} \right)\)

Phương pháp giải

Diện tích hình giới hạn bởi cung nhỏ $AB$ và $AM,MB$ là: \(S = {S_{OAMB}} - {S_{q\,AB}}\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét \(\Delta OAM\) có \(AM = \sqrt {O{M^2} - O{A^2}}  = R\sqrt 3  \Rightarrow {S_{OAM}} = \dfrac{{OA.AB}}{2} = \dfrac{{{R^2}\sqrt 3 }}{2}\)

Mà \(\Delta OAM = \Delta OBM\left( {c - c - c} \right) \Rightarrow {S_{OAMB}} = 2{S_{OAM}} = \sqrt 3 {R^2}\)

Xét \(\Delta OAM\) có \(\cos \widehat {AOM} = \dfrac{{OA}}{{OM}} = \dfrac{1}{2} \)

\(\Rightarrow \widehat {AOM} = 60^\circ  \Rightarrow \widehat {AOB} = 120^\circ \)

Diện tích quạt tròn \({S_{q\,AB}} = \dfrac{{\pi {R^2}.120}}{{360}} = \dfrac{{\pi {R^2}}}{3}\)

Diện  tích giới hạn bởi hai tiếp tuyến $AM,MB$ và cung nhỏ $AB$ là

\(S = {S_{OAMB}} - {S_{q\,AB}} = \sqrt 3 {R^2} - \dfrac{{\pi {R^2}}}{3} = {R^2}\left( {\sqrt 3  - \dfrac{\pi }{3}} \right).\) 

Đáp án : D