Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính \(AB = 2\sqrt 2 \;cm\). Điểm \(C \in (O)\) sao cho \(\widehat {ABC} = {30^0}\). Tính diện tích hình giới hạn bởi đường tròn $\left( O \right)$ và $AC,BC$ .
-
A.
\(\pi - \sqrt 3 \)
-
B.
\(2\pi - 2\sqrt 3 \)
-
C.
\(\pi - 3\sqrt 3 \)
-
D.
\(2\pi - \sqrt 3 \)
Diện tích hình giới hạn bởi đường tròn $\left( O \right)$ và $AC,BC$ là: \(S = \dfrac{1}{2}{S_{(O)}} - {S_{ABC}}\)
Diện tích hình tròn $\left( O \right)$ là: \({S_{(O)}} = \pi {R^2}\)
Ta có góc \(\widehat {ACB}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \( \Rightarrow \widehat {ACB} = {90^0}\)\( \Rightarrow \widehat {BAC} = {90^0} - \widehat {CBA} = {90^0} - {30^0} = {60^0}.\)
Tam giác $AOC$ có \(\widehat {CAO} = {60^\circ }\) và $OA = OC = R$ nên tam giác $AOC$ đều cạnh bằng $R$ .
Giả sử $CH$ là đường cao của tam giác $ABC$ , ta có:
\(CH = CO.\sin {60^0} = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}.R \Rightarrow {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}CH.AB\)
$= \dfrac{1}{2}.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}R.2R$
\(= \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{R^2}.\)
Diện tích hình giới hạn bởi đường tròn $\left( O \right)$ và $AC,BC$ là:
$\dfrac{1}{2}{S_{(O)}} - {S_{ABC}} = \dfrac{1}{2}\pi {R^2} - \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}{R^2} = \dfrac{1}{2}\left( {\pi - \sqrt 3 } \right){R^2} = \dfrac{1}{2}\left( {\pi - \sqrt 3 } \right){\left( {\sqrt 2 } \right)^2} = \pi - \sqrt 3 .$
Đáp án : A
Các bài tập cùng chuyên đề
Diện tích hình tròn bán kính \(R = 10\,cm\) là
Một hình tròn có diện tích \(S = 144\pi \,\left( {c{m^2}} \right)\) . Bán kính của hình tròn đó là:
Cho đường tròn $\left( {O,10\,cm} \right)$, đường kính $AB.$. Điểm \(M \in (O)\) sao cho \(\widehat {BAM} = {45^0}\). Tính diện tích hình quạt $AOM$ .
Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB = $ \(4\sqrt 3 \) $cm$ .
Điểm \(C \in (O)\) sao cho \(\widehat {ABC} = {30^0}\). Tính diện tích hình viên phân$AC$ . (Hình viên phân là phần hình tròn giới hạn bởi một cung tròn và dây căng cung ấy).
Cho hình vuông có cạnh là $5\,cm$ nội tiếp đường tròn $\left( O \right)$. Hãy tính diện tích hình tròn $\left( O \right)$.
Cho đường tròn $\left( {O;R} \right)$ và một điểm $M$ sao cho $OM = 2R$. Từ $M$ vẽ các tiếp tuyến $MA,MB$ với đường tròn $(A,B$ là các tiếp điểm ). Tính diện tích giới hạn bởi hai tiếp tuyến $AM,MB$ và cung nhỏ $AB.$
Một hình quạt có chu vi bằng \(28\,(cm)\) và diện tích bằng \(49\,(c{m^2})\). Bán kính của hình quạt bằng?
Cho tam giác đều \(ABC\) nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\). Độ dài của các cung \(AB,BC,CA\) đều bằng \(4\pi \). Diện tích của tam giác đều \(ABC\) là:
