Đề bài

Cho đường tròn $\left( O \right)$ đường kính $AB$ . Gọi $H$ là điểm nằm giữa $O$ và $B$.  Kẻ dây $CD$ vuông góc với $AB$ tại $H$ . Trên cung nhỏ $AC$ lấy điểm $E$ kẻ $CK$ vuông góc $AE$ tại $K$ . Đường thẳng $DE$ cắt $CK$ tại $F$. Chọn câu đúng: 

• A. $AHCK$ là tứ giác nội tiếp.
• B. $AHCK$ không nội tiếp đường tròn.
• C. $\widehat {EAO} = \widehat {HCK}$
• D. $AH.AB = AD.BD.$ 

Phương pháp giải

- Chứng minh tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm nên là tứ giác nội tiếp.

- Tứ giác nội tiếp có tổng hai góc đối bằng \(180^\circ\).

- Chứng minh hai tam giác đồng dạng suy ra tỉ số giữa các cạnh tương ứng.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét tam giác AHC có $\widehat {AHC} = {90^0}$ (CD vuông góc AB) nên tam giác AHC nội tiếp đường tròn đường kính AC.

Xét tam giác AKC có $\widehat {AKC} = {90^0}$ (AK vuông góc CF) nên tam giác AKC nội tiếp đường tròn đường kính AC.

Do đó tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp (do A, H, K, C cùng thuộc đường tròn đường kính AC) suy ra phương án A đúng, B sai.

Do đó \(\widehat {EAO} + \widehat {HCK} = {180^0}\) (tính chất tứ giác nội tiếp) suy ra phương  án C sai.

Xét tam giác vuông \(ADB\) và \(AHD) có

\(\widehat {DAB}\) chung

\(\widehat {ADB} = \widehat {AHD} \left( = 90^\circ \right)\)

suy ra \(\Delta ADB \backsim \Delta AHD\) (g.g) suy ra \(\frac{AD}{AB} = \frac{AH}{AD}\) do đó \(AH.AB = A{D^2}\) nên phương án D sai.

Đáp án : A