Đề bài

Cho đường tròn $(O;R)$ có hai dây cung $AB$ và $CD$ vuông góc với nhau tại $I$ ( $C$ thuộc cung nhỏ $AB$ ). Kẻ đường kính $BE$ của $(O)$. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

• A. $I{A^2} + I{C^2} + I{B^2} + I{D^2} = 2{R^2}$
• B. $I{A^2} + I{C^2} + I{B^2} + I{D^2} = 3{R^2}$
• C. $I{A^2} + I{C^2} + I{B^2} + I{D^2} = 4{R^2}$
• D. $I{A^2} + I{C^2} + I{B^2} + I{D^2} = 5{R^2}$

Phương pháp giải

Bước 1: Sử dụng tính chất hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau để chứng minh $AC = ED$

Bước 2: Sử dụng định lý Pytago để chứng minh hệ thức.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét $\left( O \right)$ có $BE$ là đường kính và $A \in \left( O \right)$$ \Rightarrow AE \bot AB$ mà $CD \bot AB$$ \Rightarrow AE{\rm{//}}CD$

Nên cung $AC$ bằng cung $ED$ hay $AC = ED.$

Xét các tam giác vuông $\Delta IAC$ và $\Delta IBD$ ta có

$I{A^2} + I{C^2} = A{C^2};$

$I{B^2} + I{D^2} = B{D^2} $

$\Rightarrow I{A^2} + I{C^2} + I{B^2} + I{D^2} $

$= A{C^2} + B{D^2} $

$= E{D^2} + B{D^2}$

Mà $\Delta BED$ vuông tại $D$ nên $E{D^2} + B{D^2} = E{B^2} = {\left( {2R} \right)^2} = 4{R^2}$

Vậy $I{A^2} + I{C^2} + I{B^2} + I{D^2} = 4{R^2}$.

Đáp án : C