Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 3a, BC = 4a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy. Góc tạo bởi giữa SC và đáy bằng ${60^o}$. Gọi M là trung điểm của AC, tính khoảng cách d giữa hai đường thẳng AB và SM.
-
A.
\(d = a\sqrt 3 \).
-
B.
\(d = 5a\sqrt 3 \).
-
C.
\(d = \dfrac{{5a}}{2}\).
-
D.
\(d = \dfrac{{10a\sqrt 3 }}{{\sqrt {79} }}\).
Dựa vào phương pháp xác định mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia đưa về tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Ta có: \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 5a\).
Xác định \({60^o} = \widehat {\left( {SC,\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SC,AC} \right)} = \widehat {SCA}\) và \(SA = AC.\tan \widehat {SCA} = 5a\sqrt 3 .\)
Gọi \(N\) là trung điểm \(BC\), suy ra \(MN\parallel AB\).
Lấy điểm \(E\) đối xứng với \(N\) qua \(M\), suy ra \(ABNE\) là hình chữ nhật.
Do đó $d\left( {AB,SM} \right) = d\left( {AB;\left( {SME} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SME} \right)} \right)$.
Kẻ \(AK \bot SE\) (1).
Vì \(ME \bot AE,ME \bot SA\) nên \(ME \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow ME \bot AK\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(AK \bot \left( {SME} \right)\).
Khi đó \(d\left( {A,\left( {SME} \right)} \right) = AK = \dfrac{{SA.AE}}{{\sqrt {S{A^2} + A{E^2}} }} = \dfrac{{10a\sqrt {237} }}{79} = \dfrac{{10a\sqrt {3} }}{\sqrt{79}}\).
Đáp án : D
Danh sách bình luận