Tìm \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + 4m = 0\) (\(x\) là ẩn, \(m\) là tham số) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^3 - x_1^2 = x_2^3 - x_2^2\).
-
A.
\( m = 0\)
-
B.
\( m = - 1\)
-
C.
\( m = 1\)
-
D.
\( m = 2\)
Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) khi \( \Delta ' > 0\,.\)
Áp dụng định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - \frac{b}{a}\\{x_1}{x_2} = \frac{c}{a}\end{array} \right..\)
Áp dụng biểu thức đề bài để tìm \(m.\) Đối chiếu với điều kiện có nghiệm của phương trình rồi kết luận.
Phương trình có hai nghiệm \({x_1},{x_2} \) khi \(\Delta ' > 0\)
Ta có: \( {\left( {m + 1} \right)^2} - 4m = {\left( {m - 1} \right)^2} \) với mọi \( m \in \mathbb{R}\)
Suy ra phương trình có hai nghiệm hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m.\)
Áp dụng định lí Viète ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2m + 2\\{x_1}{x_2} = 4m\end{array} \right..\)
Theo đề bài ta có: \(x_1^3 - x_1^2 = x_2^3 - x_2^2 \) suy ra \(x_1^3 - x_2^3 - \left( {x_1^2 - x_2^2} \right) = 0\)
\(\left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2} \right) - \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0\\ \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {x_1^2 + {x_1}{x_2} + x_2^2 - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right] = 0\\ \left( {{x_1} - {x_2}} \right)\left[ {{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^2} - {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right)} \right] = 0\)
\(x_1 - x_2 = 0\) hoặc \({\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - {x_1}{x_2} - \left( {{x_1} + {x_2}} \right) = 0\)
\({x_1} = {x_2}\) hoặc \({\left( {2m + 2} \right)^2} - 4m - 2m - 2 = 0\)
Suy ra \(\Delta ' = 0\) hoặc \(4{m^2} + 8m + 4 - 6m - 2 = 0\)
\((m - 1)^2 = 0\) hoặc \(4{m^2} + 2m + 2 = 0\)
Mà phương trình \(4{m^2} + 2m + 2 = 0\) vô nghiệm nên \(m - 1 = 0\)
Suy ra \(m = 1\)
Vậy \(m = 1\) thỏa mãn bài toán.
Đáp án : C
Danh sách bình luận