Cho parabol \(\left( P \right):y = - {x^2}\) và đường thẳng \(\left( d \right):y = x + m - 2.\) Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \(x_1^2 + x_2^2 < 3\).
-
A.
\(2 < m < \dfrac{9}{4}\)
-
B.
\(1 < m < \dfrac{9}{4}\)
-
C.
\( - 1 < m < \dfrac{9}{4}\)
-
D.
\( - 2 < m < \dfrac{9}{4}\)
Đường thẳng \(d\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt khi phương trình hoành độ giao điểm \(\left( * \right)\) của hai đồ thị hàm số có hai nghiệm phân biệt hay \( \Delta > 0.\)
Áp dụng định lí Viète và hệ thức bài cho để tìm \(m.\)
Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và \(\left( d \right):\)
\( - {x^2} = x + m - 2\)
\({x^2} + x + m - 2 = 0\,\,\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có: \(\Delta = 1 - 4\left( {m - 2} \right) = 9 - 4m\)
Đường thẳng \(\left( d \right)\) cắt \(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt khi phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt.
Ta có: \(\Delta > 0\)
\(9 - 4m > 0\)
\(m < \dfrac{9}{4}\)
Với \(m < \dfrac{9}{4}\) thì phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},\,\,{x_2}.\)
Áp dụng định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = - 1\\{x_1}{x_2} = m - 2\end{array} \right.\).
Theo đề bài ta có: \(x_1^2 + x_2^2 < 3\)
\(\begin{array}{l}{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} < 3\\ {\left( { - 1} \right)^2} - 2\left( {m - 2} \right) < 3\\1 - 2m + 4 < 3\\ 2m > 2\\ m > 1\end{array}\)
Kết hợp với điều kện \(m < \dfrac{9}{4}\) ta được: \(1 < m < \dfrac{9}{4}\) thỏa mãn bài toán.
Đáp án : B
Danh sách bình luận