Đề bài

Cho phương trình \({x^2} - 4x - 3 = 0\) có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\). Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức \(T = \dfrac{{x_1^2}}{{{x_2}}} + \dfrac{{x_2^2}}{{{x_1}}}\).

• A. \(T = \dfrac{100}{3}\)
• B. \(T = \dfrac{80}{3}\)
• C. \(T = -\dfrac{80}{3}\)
• D. \(T = -\dfrac{100}{3}\)

Phương pháp giải

Bước 1: Sử dụng định lí Viète:

Nếu \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ thì  \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a}\\{x_1} \cdot {x_2} = \dfrac{c}{a}\end{array} \right..\)

Bước 2: Biến đổi biểu thức $T$ để sử dụng được định lí Viète.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Ta thấy \(a.c = 1.\left( { - 3} \right) =  - 3 < 0\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2} \ne 0\) thỏa mãn \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 4\\{x_1}{x_2} =  - 3\end{array} \right.\)

Khi đó,

\(\begin{array}{l}T = \dfrac{{x_1^2}}{{{x_2}}} + \dfrac{{x_2^2}}{{{x_1}}} = \dfrac{{x_1^3 + x_2^3}}{{{x_1}{x_2}}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}^3} - 3{x_1}{x_2}\left( {{x_1} + {x_2}} \right)}}{{{x_1}{x_2}}}\\\,\,\,\,\, = \dfrac{{{4^3} - 3.\left( { - 3} \right).4}}{{ - 3}}\\\,\,\,\,\, =  - \dfrac{{100}}{3}\end{array}\)

Vậy \(T =  - \dfrac{{100}}{3}\).

Đáp án : D