Đề bài

Gọi ${x_1},\,\,{x_2}$ là hai nghiệm của phương trình ${x^2} - 2x - 1 = 0$. Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là $\left| {{{\left( {{x_1}} \right)}^3}} \right|$, $\left| {{{\left( {{x_2}} \right)}^3}} \right|$.

• A. $x^2 - 10\sqrt 2 x + 1 = 0$
• B. $x^2 - 5\sqrt 2 x + 1 = 0$
• C. $x^2 - 10\sqrt 3 x + 1 = 0$
• D. $x^2 - 5\sqrt 3 x + 1 = 0$

Phương pháp giải

Sử dụng định lí Viète

Hai số có tổng S và tích P là nghiệm của phương trình $x^2-Sx+P=0$ nếu $S^2 - 4P \ge 0$

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét phương trình ${x^2} - 2x - 1 = 0$ có $ac =  - 1 < 0$ nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Gọi ${x_1},\,\,{x_2}$ là 2 nghiệm phân biệt của phương trình ${x^2} - 2x - 1 = 0$, áp dụng định lí Viète, ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} =  - 1\end{array} \right.$.

Vì hai nghiệm ${x_1},\,\,{x_2}$ trái dấu nên không mất tính tổng quát, ta giả sử ${x_1} < 0 < {x_2}$.

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}S = \left| {{{\left( {{x_1}} \right)}^3}} \right| + \left| {{{\left( {{x_2}} \right)}^3}} \right| =  - x_1^3 + x_2^3\\\,\,\,\,\, = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^3} + 3{x_1}{x_2}\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\\\,\,\,\,\, = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^3} - 3\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\\P = \left| {{{\left( {{x_1}} \right)}^3}} \right|.\left| {{{\left( {{x_2}} \right)}^3}} \right| =  - x_1^3.x_2^3\\\,\,\,\, =  - {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^3} =  - {\left( { - 1} \right)^3} = 1\end{array}$

Ta có: 

$\begin{array}{l}{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = {\left( {{x_2} + {x_1}} \right)^2} - 4{x_2}{x_1} = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right) = 8\\ \left| {{x_2} - {x_1}} \right| = \sqrt 8 \\ {x_2} - {x_1} = \sqrt 8 \,\,\left( {Do\,\,{x_2} > {x_1}} \right)\end{array}$

Khi đó ta có: $S = \left| {{{\left( {{x_1}} \right)}^3}} \right| + \left| {{{\left( {{x_2}} \right)}^3}} \right| = {\left( {\sqrt 8 } \right)^3} - 3\left( {\sqrt 8 } \right) = 8\sqrt 8  - 3\sqrt 8  = 5\sqrt 8  = 10\sqrt 2$.

Vì ${S^2} - 4P = {\left( {10\sqrt 2 } \right)^2} - 4.4 = 184 > 0$ nên $\left| {{{\left( {{x_1}} \right)}^3}} \right|,\,\,\left| {{{\left( {{x_2}} \right)}^3}} \right|$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 10\sqrt 2 x + 1 = 0$.

Vậy $\left| {{{\left( {{x_1}} \right)}^3}} \right|,\,\,\left| {{{\left( {{x_2}} \right)}^3}} \right|$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 10\sqrt 2 x + 1 = 0$.

Đáp án : A