Đề bài

Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình \({x^2} - 2x - 1 = 0\). Hãy lập một phương trình bậc hai một ẩn có hai nghiệm là \(\left| {{{\left( {{x_1}} \right)}^3}} \right|\), \(\left| {{{\left( {{x_2}} \right)}^3}} \right|\).

  • A.

    \(x^2 - 10\sqrt 2 x + 1 = 0\)

  • B.

    \(x^2 - 5\sqrt 2 x + 1 = 0\)

  • C.

    \(x^2 - 10\sqrt 3 x + 1 = 0\)

  • D.

    \(x^2 - 5\sqrt 3 x + 1 = 0\)

Phương pháp giải

Sử dụng định lí Viète

Hai số có tổng S và tích P là nghiệm của phương trình \(x^2-Sx+P=0\) nếu \(S^2 - 4P \ge 0\)

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét phương trình \({x^2} - 2x - 1 = 0\) có \(ac =  - 1 < 0\) nên phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Gọi \({x_1},\,\,{x_2}\) là 2 nghiệm phân biệt của phương trình \({x^2} - 2x - 1 = 0\), áp dụng định lí Viète, ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 2\\{x_1}{x_2} =  - 1\end{array} \right.\).

Vì hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) trái dấu nên không mất tính tổng quát, ta giả sử \({x_1} < 0 < {x_2}\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}S = \left| {{{\left( {{x_1}} \right)}^3}} \right| + \left| {{{\left( {{x_2}} \right)}^3}} \right| =  - x_1^3 + x_2^3\\\,\,\,\,\, = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^3} + 3{x_1}{x_2}\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\\\,\,\,\,\, = {\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^3} - 3\left( {{x_2} - {x_1}} \right)\\P = \left| {{{\left( {{x_1}} \right)}^3}} \right|.\left| {{{\left( {{x_2}} \right)}^3}} \right| =  - x_1^3.x_2^3\\\,\,\,\, =  - {\left( {{x_1}{x_2}} \right)^3} =  - {\left( { - 1} \right)^3} = 1\end{array}\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)^2} = {\left( {{x_2} + {x_1}} \right)^2} - 4{x_2}{x_1} = {2^2} - 4.\left( { - 1} \right) = 8\\ \left| {{x_2} - {x_1}} \right| = \sqrt 8 \\ {x_2} - {x_1} = \sqrt 8 \,\,\left( {Do\,\,{x_2} > {x_1}} \right)\end{array}\)

Khi đó ta có: \(S = \left| {{{\left( {{x_1}} \right)}^3}} \right| + \left| {{{\left( {{x_2}} \right)}^3}} \right| = {\left( {\sqrt 8 } \right)^3} - 3\left( {\sqrt 8 } \right) = 8\sqrt 8  - 3\sqrt 8  = 5\sqrt 8  = 10\sqrt 2 \).

Vì \({S^2} - 4P = {\left( {10\sqrt 2 } \right)^2} - 4.4 = 184 > 0\) nên \(\left| {{{\left( {{x_1}} \right)}^3}} \right|,\,\,\left| {{{\left( {{x_2}} \right)}^3}} \right|\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 10\sqrt 2 x + 1 = 0\).

Vậy \(\left| {{{\left( {{x_1}} \right)}^3}} \right|,\,\,\left| {{{\left( {{x_2}} \right)}^3}} \right|\) là nghiệm của phương trình \({x^2} - 10\sqrt 2 x + 1 = 0\).

Đáp án : A

Các bài tập cùng chuyên đề

Bài 1 :

Chọn phát biểu đúng. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$. Khi đó

Xem lời giải >>
Bài 2 :

Chọn phát biểu đúng. Phương trình $a{x^2} + bx + c = 0\,\,(a \ne 0)$ có $a - b + c = 0$. Khi đó

Xem lời giải >>
Bài 3 :

Cho hai số có tổng là $S$ và tích là $P$ với ${S^2} \ge 4P$. Khi đó hai số đó là hai nghiệm của phương trình nào dưới đây?

Xem lời giải >>
Bài 4 :

Không giải phương trình, tính tổng hai nghiệm (nếu có) của phương trình ${x^2} - 6x + 7 = 0$

Xem lời giải >>
Bài 5 :

Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 5x + 2 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $A = x_1^2 + x_2^2$

Xem lời giải >>
Bài 6 :

Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình $ - 2{x^2} - 6x - 1 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $N = \dfrac{1}{{{x_1} + 3}} + \dfrac{1}{{{x_2} + 3}}$

Xem lời giải >>
Bài 7 :

Gọi ${x_1};{x_2}$ là nghiệm của phương trình ${x^2} - 20x - 17 = 0$. Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức $C = x_1^3 + x_2^3$

Xem lời giải >>
Bài 8 :

Biết rằng phương trình  $\left( {m - 2} \right){x^2} - \left( {2m + 5} \right)x + m + 7 = 0\,\left( {m \ne 2} \right)$ luôn có nghiệm ${x_1};{x_2}$ với mọi $m$. Tìm ${x_1};{x_2}$ theo $m$.

Xem lời giải >>
Bài 9 :

Tìm hai nghiệm của phương trình $18{x^2} + 23x + 5 = 0$ sau đó phân tích đa thức $A = 18{x^2} + 23x + 5$ sau thành nhân tử.

Xem lời giải >>
Bài 10 :

Tìm $u - v$ biết rằng $u + v = 15,uv = 36$ và $u > v$

Xem lời giải >>
Bài 11 :

Lập phương trình nhận hai số $3 - \sqrt 5 $ và $3 + \sqrt 5 $ làm nghiệm.

Xem lời giải >>
Bài 12 :

Biết rằng phương trình \({x^2} - \left( {2a - 1} \right)x - 4a - 3 = 0\) luôn có hai nghiệm ${x_1};{x_2}$ với mọi $a$. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào \(a\).

Xem lời giải >>
Bài 13 :

Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 1} \right)x - m + 2 = 0\) có hai nghiệm trái dấu.

Xem lời giải >>
Bài 14 :

Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - 2\left( {m - 3} \right)x + 8 - 4m = 0\) có hai nghiệm âm phân biệt.

Xem lời giải >>
Bài 15 :

Tìm các giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \({x^2} - 6x + 2m + 1 = 0\) có hai nghiệm dương phân biệt

Xem lời giải >>
Bài 16 :

Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \(m{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + 3\left( {m - 2} \right) = 0\) có hai nghiệm phân biệt cùng dấu.

Xem lời giải >>
Bài 17 :

Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - mx - m - 1 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(x_1^3 + x_2^3 =  - 1\).

Xem lời giải >>
Bài 18 :

Tìm các giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} - 5x + m + 4 = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(x_1^2 + x_2^2 = 23\).

Xem lời giải >>
Bài 19 :

Giá trị nào dưới đây gần nhất với giá trị của \(m\)để phương trình \({x^2} + 3x - m = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn: \(2{x_1} + 3{x_2} = 13\).

Xem lời giải >>
Bài 20 :

Tìm giá trị của \(m\) để phương trình \({x^2} + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0\) có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) và biểu thức \(A = {\left( {{x_1} - {x_2}} \right)^2}\) đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem lời giải >>