Đề bài

Cho hàm số $y=\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}$ có đồ thị (P) và đường thẳng (d): $y=3mx-2$.Tìm m để đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

• A. $m<\dfrac{-2}{3}$                
• B.  $m>\dfrac{2}{3}$
• C. $m<\dfrac{-2}{3}$ hoặc $m>\dfrac{2}{3}$                  
• D.  $\dfrac{-2}{3}<m<\dfrac{2}{3}$

Phương pháp giải

Lập phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d). Áp dụng điều kiện để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt. Từ đó tìm giá trị của tham số m.

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P) và (d):

$\begin{align}  & \,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{2}{{x}^{2}}=3mx-2 \\  & \Leftrightarrow {{x}^{2}}-6mx+4=0\,\,\,\,\,\,\,(1) \\ \end{align}$

Để (d) và (P) có 2 giao điểm thì phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt:

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \Delta ' > 0\\ \Leftrightarrow 9{m^2} - 4 > 0\\ \Leftrightarrow (3m - 2)(3m + 2) > 0 \end{array}$

$\Leftrightarrow m<\dfrac{-2}{3}$ hoặc $m>\dfrac{2}{3}$.

Vậy với $m<\dfrac{-2}{3}$ hoặc $m>\dfrac{2}{3}$ thì đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt.

Đáp án : C