Đề bài

Cho hình chóp tam giác đều $S.ABC$ có cạnh đáy bằng $a$ và cạnh bên bằng $\dfrac{{a\sqrt {21} }}{6}$. Tính khoảng cách \(d\) từ đỉnh $A$ đến mặt phẳng $\left( {SBC} \right)$ .

• A. $d = \dfrac{a}{4}.$ 
• B. $d = \dfrac{{3a}}{4}.$
• C. $d = \dfrac{3}{4}.$
• D. \(d = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}.\)

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Gọi \(O\) là tâm của tam giác đều \(ABC\).

Do hình chóp $S.ABC$ đều nên suy ra \(SO \bot \left( {ABC} \right)\).

Gọi \(E\) là trung điểm \(BC\) ta có:

$\begin{array}{l}AO \cap \left( {SBC} \right) = E \Rightarrow \dfrac{{d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right)}}{{d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right)}} = \dfrac{{AE}}{{OE}} = 3\\ \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 3.d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right).\end{array}$

Trong $(SAE)$ kẻ \(OK \bot SE\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AE\\BC \bot SO\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BC \bot OK\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow OK \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {O;\left( {SBC} \right)} \right) = OK\) 

Tính được $SO = \sqrt {S{A^2} - {{\left( {\dfrac{2}{3}AE} \right)}^2}}  = \sqrt {\dfrac{{21{a^2}}}{{36}} - {{\left( {\dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{a}{2}$ và \(OE = \dfrac{1}{3}AE = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}.\)

Tam giác vuông \(SOE\), có \(OK = \dfrac{{SO.OE}}{{\sqrt {S{O^2} + O{E^2}} }} = \dfrac{a}{4}\).

Vậy $d\left( {A;\left( {SBC} \right)} \right) = 3OK = \dfrac{{3a}}{4}$.

Đáp án : B