Đề bài

Cho hình chóp \(S.ACBD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\). Cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy, \(SA = AB = BC = 1\), \(AD = 2\). Tính khoảng cách \(d\) từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).

• A. \(d = \dfrac{2}{3}.\)
• B. \(d = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\)
• C. \(d = \dfrac{{2a}}{3}.\)
• D. $d = 1.$

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp kẻ chân đường cao từ điểm đến mặt phẳng (lý thuyết đường thẳng vuông góc với mặt phẳng) để xác định khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng

Lời giải của GV Loigiaihay.com

Trong (ABCD) kẻ \(AE \bot BD\), trong (SAE) kẻ \(AK \bot SE\,\,\,\,\left( 1 \right)\).

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AE\\BD \bot SA\end{array} \right. \Rightarrow BD \bot \left( {SAE} \right) \Rightarrow BD \bot AK\,\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow AK \bot \left( {SBD} \right) \Rightarrow d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AK.\)

Tam giác vuông \(ABD\), có \(AE = \dfrac{{AB.AD}}{{\sqrt {A{B^2} + A{D^2}} }} = \dfrac{{2\sqrt 5 }}{5}\).

Tam giác vuông $SAE$, có $AK = \dfrac{{SA.AE}}{{\sqrt {S{A^2} + A{E^2}} }} = \dfrac{2}{3}$.

Vậy \(d\left( {A;\left( {SBD} \right)} \right) = AK = \dfrac{2}{3}\).

Đáp án : A